帖子主题: [经验分享] 曲线关于点、直线对称的方程求解  

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发表于:Tue Mar 22 09:26:48 CST 2016
   我们在平面解析几何的学习中,常常遇到下面两类问题:即曲线关于点对称的方程,以及曲线关于某直线对称的方程。下面的内容,不仅给出了相应的结论,还对结论进行了证明,条理清晰,加强学生对此知识点的理解。
问题1:对曲线f(x, y)=0,如何求它关于某点A ( u0 , v0 ) 对称的曲线方程?
问题2:对曲线f(x,y)=0,如何求它关于某直线ax+by+c=0(a、b不同时为0) 对称的曲线方程?
对问题1 ,我们得出了下面的结论1; 对问题2 , 分直线的斜率存在与不存在两种情况分别给出了下面的结论2和结论3.
结论1 :曲线f (x,y)=0关于某点A (u0,v0) 对称的曲线方程是f(2u0-x,2v0-y)=0.
证明: 设P(x, y) 关于A (u0,v0)对称的点为p′(x′,y′) ,则x + x′=2u0,y + y′= 2v0.
从而解得:x= 2u0-x′,y=2v0-y′.
故f (x,y)=0关于点A(u0,v0) 对称的曲线方程为f(2u0-x′,2v0-y′) =0 , 即f(2u0 - x,2v0-y)= 0。
特别地,曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程是f (- x,- y) = 0.
结论2 :曲线f(x,y)=0关于直线x=u0对称的曲线方程是f (2u0-x,y)=0.
证明:由P(x,y) 关于直线x = u0 对称的点为P′(2u0-x ,y) 即得证.
结论3 :曲线f(x,y) =0关于直线y = kx + b对称的曲线方程是:
证明: k = 0 的情形容易证明,下就k 不为0 的情形予以证明.
设P( x , y) 关于直线y = kx + b对称的点为P′( x′,y′) ,则

从而解得

故f ( x , y) = 0 关于直线y = kx + b 对称的曲线方程为

    特别地,曲线( x , y) = 0 关于x 轴对称的曲线方程是f ( x , - y) = 0 、关于y 轴对称的曲线方程是f ( - x ,y) = 0 、关于直线y = x 对称的曲线方程是f ( y , x) =0 、关于直线y = - x 对称的曲线方程是f ( - y , - x) =0.
    上述三个结论的证明都具有共性, 就是先找出任意点关于某已知点或某已知直线对称的点的坐标. 如果能记住上述三个结论,应用起来特别方便;如果没有记住,也可以仿照上述证明,找出任意点关于已知点或已知直线对称的点的坐标. 再代入f ( x , y) = 0 即可.
 

孩子的问题是个大问题
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发表于:2016-03-22 09:40:35
沙发~

孩子的问题是个大问题
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发表于:2016-03-24 08:37:16
先找出任意点关于某已知点或某已知直线对称的点的坐标. 如果能记住上述三个结论,应用起来特别方便;如果没有记住,也可以仿照上述证明,找出任意点关于已知点或已知直线对称的点的坐标. 再代入f ( x , y) = 0 即可.
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发表于:2016-03-24 08:41:52
很不错,值得学习。
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发表于:2016-03-24 19:35:08
先找出任意点关于某已知点或某已知直线对称的点的坐标. 如果能记住上述三个结论,应用起来特别方便;如果没有记住,也可以仿照上述证明,找出任意点关于已知点或已知直线对称的点的坐标. 再代入f ( x , y) = 0 即可.
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发表于:2016-03-30 08:34:33
找一个适合自己的简便方法。

**拥有一片绿**
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发表于:2016-04-07 14:33:47
http://www.ccb.com/cn/home/indexv3.html
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